Pistes i guanyadors

A la resposta del repte d'aquest mes que acaba es podia arribar per dues vies de raonament diferents. La primera consistia en dibuixar els casos més simples i anar anotant els resultats en un taula que, si la fem arribar a l'eneàgon, presenta els següents resultats.

Polígons	Diagonals
Triangle	0
Quadrat	2
Pentàgon	5
Hexàgon	9
Heptàgon	14
Octàgon	20
Eneàgon	27

Si reflexioneu una mica descobrireu una pauta en l'increment del número de diagonals que us permet continuar la taula sense haver de dibuixar cap més polígon. Tot i que s'hagi acabat el termini per contestar el repte us convido a que ho intenteu.



Ai! Perdoneu. M'oblidava dels guanyadors. Aquesta vegada al podi tenim tres persones. En primera posició qui ha estat capaç de calcular les diagonals del icosàgon i el triacontàgon. Després, els dos que han esbrinat les del decàgon. No era la pregunta del repte però també té molt de mèrit, si no s'ho creieu proveu a fer-ho vosaltres.

Missatges secrets - s'acosta el repte del maig

Segur que tu o algun amic teu, a classe o a l'hora de pati, heu escrit algun cop un missatge utilitzant un llenguatge secret amb la intenció que només ho podés llegir la persona a qui anava destinat. I sabeu qui es dedica a inventar i investigar aquests llenguatges? Doncs els matemàtics, que a mates no tot són càlculs i operacions com hem comentat a classe un munt de vegades.
Si teniu bona memòria recordareu que ja una vegada ens vam topar amb un enigma que utilitzava un alfabet parcialment codificat, l'anomenat Què ha escrit el mestre?. Molts el vau endevinar, per això espero que aquest mes el repte tingui força encertants.



La imatge superior, procedent de la wikipèdia, il·lustra un dels codis més antics, el que feia servir Juli Cèsar per enviar les instruccions als seus generals. Per encriptar el missatge substituïa les lletres de les paraules originals per les lletres que estaven un número determinat de vegades més enllà en l'alfabet. Així si el factor de desplaçament era de 3, com en el dibuix, la paraula Hola es convertia en Krod.

Per trencar-se el cap

Article tramès per Carme Farré

Sabries transformar 10 tresos en 3 uns tot utilitzant l’operació de sumar?
Si et sembla molt difícil pots fer servir una calculadora, però t'asseguro que es més fàcil fer-ho amb llapis i paper.
El que si faré és donar-te una pista per fer-ho més assequible... Una mica enredada, això sí.
A ningú no li agrada estar sol, als números tampoc. Els hi poden agradar les parelles, els trios...

MatematicART

Els alumnes de cinquè que dediquem algunes hores del nostre currículum matemàtic a crear polígons més o menys originals amb l'ajuda del geoplà i unes quantes gomes, o a enrajolar superfícies amb una certa gràcia, no som els únics que lliguem geometria i plàstica. Pintors famosos i consagrats com ara Chillida, Guinovart, Ràfols Casamada, George Rousse, Tàpies i Yturralde també ho han fet.
Si ho dubteu podeu visitar la web de la Galeria Manel Mayoral de Barcelona, que durant els mesos de febrer i març va agrupar en una exposició anomenada Geometries algunes obres amb aquestes característiques.
Si voleu fer el contrari, és a dir anar de la matemàtica a l'art i no de l'art a la matemàtica, podeu fer un cop d'ull a la pàgina web de l'artista coreà Ghee Beom Kim. De debò que paga la pena.

Llibres de franc

Som a la setmana de Sant Jordi i per tant, amb una falta total d'originalitat, parlarem de llibres, un tema que no toco gaire en el meu bloc. Però com que a tots ens agrada passar per moderns no parlaré dels que es publiquen en format paper, sinó dels que podem trobar a la xarxa.
Una de les moltes virtuts d'internet, tot i que l'SGAE, no la classificaria com a tal, és la possibilitat de trobar infinitat d'obres que, de forma totalment legal, es poden descarregar i posteriorment imprimir a casa. Em direu que el fet de llegir de franc no és excepcional perquè fins ara teníem les biblioteques ja ens ho permetien fer, hem d'admetre però, que aquestes institucions tenen unes limitacions inexistents a la xarxa.
Un lloc on trobareu un bon fons de llibres de temàtica matemàtica és Free Mathematics Books. L'autor d'aquest bloc, que com he comentat algunes vegades, no és matemàtic, sinó senzillament un mestre amb una cultureta bàsica que vol despertar l'interès dels seus alumnes i per què no, d'altres adults, per aquesta àrea del saber, d'entre el pilot de llibres oferts per aquest site es quedaria amb Flatland, la novel·la satírica que el 1884 va publicar Edwin A. Abbott. Una obra que segons el gran i enyorat Isaac Asimov és la millor introducció possible a la manera en que podem percebre les diferents dimensions.

Mosaics alumnes

Si el polígons aïllats poden adoptar formes atractives, com al logotip de la meva companya, encara podem aconseguir-ne de més reeixides quan aquestes figures es combinen creant un enrajolat o un mosaic.
A classe n'hem fet alguns amb l'única condició de que les rajoles havien de ser quadrilàters. Jo vaig aconseguir aquests dos mosaics, què us semblen? Al primer combino dos quadrilàters totalment irregulars, al segon, un quadrat amb un trapezi. Per què no proveu de fer-ne alguns vosaltres a casa?.

10 arbres

Article tramès per Sergi Franqueza

El rei, que era un home cregut i capriciós, va fer una estranya demanda al seu jardiner. Li va dir que li donaria 10 arbres i que els havia de plantar formant 5 files de 4 arbres cadascuna i li va donar una setmana per fer-ho. El jardiner es va espantar molt, tothom sabia que qui feia enfadar al rei era empresonat durant anys i panys o fins i tot decapitat, però 4 fileres de 5 arbres eren 20 arbres i no 10. Com s'ho faria? Ajudem-lo i pensem com s'han de plantar.

Exercici Incorrecte?

Han de ser les respostes d'un examen coherents amb la via real? Si, com jo, sou dels que penseu que sí, estareu d'acord amb el titular del diari El País del propassat divendres anunciant que, a les proves de la Consejeria de Educación de la Comunidad de Madrid equivalents a les nostres competències bàsiques, hi havia un problema sense solució.
Presentar un problema amb una resposta numèricament possible, però irreal a la vida quotidiana no ens ajuda a exigir als nostres alumnes coherència i lògica en les respostes. Com podem criticar-los quan es queden tan tranquils després de dir que un ciclista va a 500 km/h o que la superfície d'un plaça d'aparcament és de 400 cm² si nosaltres els hi posem un problema on diu que un nen ha obert un llibre entre les pàgines 49 i 50?

L'algorisme del fer safareig

Alguns matemàtics de la nostra època dediquen el seu temps a temes ben curiosos. Així per exemple, un grup de matemàtics italians han creat un algorisme que permet esbrinar la velocitat a la qual rumors i xafarderies s'escampen per les xarxes socials.
Malgrat que el primer que ens passa pel cap és "quina poca-soltada" o que "qui no té feina el gat pentina", la cosa és seriosa i ho prova el fet que una companyia com IBM hagi subvencionat l'estudi amb la seguretat de trobar-li un ús pràctic i industrial.
Trobareu més informació sobre aquest curiós estudi a l'article L'algoritmo del gossip del Corriere della Sera.

Càlculs amb daus - esbrina el que ha sortit

El joc que explico avui es fa només amb dos daus i fixeu-vos que s'anomena càlcul amb daus i no suma, com a un article l'anterior, perquè en aquest cas el càlcul a fer el determina el jugador que llença els daus.
L'activitat es fa només amb dos daus i es desenvolupa de la següent forma. El jugador que llença els daus, que no pot veure l'altre jugador, fa una operació amb el resultat obtingut (posem 1 i 2) i li diu a l'altre
- la suma dels daus fa 3.
En aquesta cas l'altre jugador dedueix fàcilment que han sortit l'u i el dos, ja que només hi ha una resposta possible.
Es pot donar el cas que la informació no ajudi gaire.
- la suma dels daus és 8 (2 + 6, 3 + 5, 4 + 4)
En aquesta cas el segon jugador ha de demanar més informació
- I el producte quan fa?
- 15
ara ja pot deduir que els números obtinguts són el 3 i el 5

Una possible variant seria obligar al jugador que llença els daus a triar sempre la informació que no deixi opcions a més d'una possibilitat (quan sigui possible, és clar). en aquest cas qui ha de fer més càlculs discriminatoris és el primer jugador en comptes del segon.

Endevinalla

Article tramès per Carme Farré

Sóc un número de tres xifres.

C D U

La suma de les xifres és 18.
La xifra de les centenes és la meitat de la xifra de les desenes i un terç de la xifra de les unitats.
Quin número sóc?

Jaime Escalante

Als mestres normalets ens costa convèncer els nostres alumnes que les matemàtiques no són una mena de purga de mal prendre. Per això no podem sinó admirar aquells que, com Lluís Segarra o Claudi Alsina, aconsegueixen el que sembla gairebé impossible, fer-les atractives.
Avui però no parlarem d'ells, sinó d'un altre exemple a seguir, Jaime Escalante. Un professor bolivià mort recentment, que va aconseguir enganxar a les matemàtiques els joves d'un institut del Comtat de Los Angeles que tenia com a principals "clients" joves hispans amb un alt fracàs escolar. Escalante a còpia d'anys i paciència va aconseguir elevar el nivell dels seus estudiants i aconseguir grans èxits en els College Board's AP tests, unes proves determinants per al pas a la universitat. La seva fama el va convertir en protagonista d'un llibre i de la película Lecciones Inolvidables (Stand and Deliver) i a ser visitat pel llavors president del Estats units, Ronald Reagan.
Malauradament alguns mals costums com ara treballar massa hores i aconseguir que les seves classes fossin les més triades li va proporcionar un seguit d'enemistats gremials i sindicals que van acabar amb la seva tasca.
Si aquest resum us ha fet venir ganes de conèixer més el personatge i la seva feina consulteu la notícia de la seva mort (Jaime Escalante, Inspiration for a Movie, Dies at 79) al New York Times del propassat 31 de març

Alicia al país de les matemàtiques

Que la coneguda obra de Lewis Carroll és un pou de sorpreses que ens ofereix múltiples nivells de lectura és un fet innegable. Encara recordo un article de divulgació científica que vaig llegir fa molts anys on Isaac Asimov il·lustrava el diferent comportament de les mol·lècules levògires i dextrògires amb l'obra Alícia, a través del mirall. Per tant que ara, aprofitant el nou boom de la història generat per la pel·lícula de Tim Burton, ens expliquin les relacions entre Alícia i les matemàtiques pot ser molt curiós, però no excepcionalment sorprenent
En l'article Algebra in Wonderland escrit per Melanie Bailey al New York Times del dia 6 de març se'ns explica com Charles Dodgson (autèntic nom de Lewis Carroll) era un home molt aferrat a la lògica, l'aritmètica i la geometria tradicionals, i que algunes de les noves aportacions matemàtiques de la seva època, com les arrels de nombres negatius i els nous conceptes topològics el trasbalsaven notablement.
La seva reacció davant d'aquests canvis va ser el sarcasme amb disfressa literària. Un sarcasme d'arrel matemàtica que va fer d'aquesta novel·la la seva millor obra. Idea que expressa a la perfecció el darrer paràgraf de l'article.
Without math, “Alice” might have been more like Dodgson’s later book, “Sylvie and Bruno” — a dull and sentimental fairy tale. Math gave “Alice” a darker side, and made it the kind of puzzle that could entertain people of every age, for centuries.

El meu logo poligonal

Tot i que a classe no som dissenyadors, ni treballem per a la indústria automobilística també hem dibuixat alguns logos ben simples i de forma poligonal com els de l'article d'ahir. Aquí us presento el meu, un octàgon. Fa patxoca, oi? Podeu pensar que és la lletra inicial de la marca del cotxe o que senzillament és una forma bonica com les que molts fabricants de cotxes fan servir per identificar els seus vehicles.
El primer dibuix és el disseny original i els altres que l'acompanyen són transformacions fetes amb el Paint Shop Pro.

Els polígons agafen el cotxe

Quan a classe vam preguntar que tenien en comú totes les figures del dibuix la primera resposta va ser ben clara, totes pertanyen a marques de cotxe. Però pocs segons després, en recordar que estàvem a classe de matemàtiques, va començar a sentir-se una segona resposta, -són polígons, una resposta tan correcta com la primera. I és que si pareu atenció veureu que totes elles, si prescindim de les dues circumferències que trobem als logotips de la Mercedes i de l'Opel, són polígons. Si us hi fixeu trobareu quadrilàters, hexàgons, octàgons i dodecàgons.

Repte d'abril

S'enrecordeu de l'examen de geometria? La darrera pregunta feia referència al número de diagonals de diverses figures. Si no el teniu present no passa res, el profe us tornarà la prova corregida quan tothom l'hagi fet.
Si ja el teniu al davant repasseu les tres preguntes, la primera era molt fàcil, la segona també, la tercera ens demanava una mica de paciència i traça... Però, que hagués passat si la figura hagués tingut encara més costats? 20 per exemple, és a dir un icosàgon, o 30, un triacontàgon. Se n'hauríeu sortit? doncs aquest és precisament el repte del mes, esbrinar quantes diagonals tenen aquests dos polígons.
Què fer-ho dibuixant es difícil? Ja ho sé. Aquest cop no pretenc que ho feu amb llapis i regle, sinó amb un estri més important i que sempre porteu a sobre, el cervell. Penseu una mica i a veure si trobeu una manera de deduir el número de diagonals sense haver-les de dibuixar.
Ah! Per si voleu combinar el raonament i el dibuix us he posat un decàgon aquí sota, podeu imprimir-lo, dibuixar les diagonals i comprovar si la solució raonada coincideix amb la real.

Sumar 12

Article tramès per Carme Farré

Col·loca els números : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 - 7 en els quadrats de la figura de la dreta, de forma i manera que, la suma de les diagonals, la de la columna vertical del centre i la de les dues fileres horitzontals de dalt i baix donin sempre com a resultat 12.